Wzory redukcyjne w trygonometrii

Na sprawdzianie (a dla niektórych nie tylko) przydaje się znajomość "paru" wzorów redukcyjnych.
Jest tego trochę:

sin(α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
cos(α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
tg(α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
ctg(α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
sin(-α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
cos(-α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
tg(-α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
ctg(-α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)

W najbardziej podstawowej wersji mamy 8x3=24 wzory. Czy można się tego łatwo nauczyć?
Łatwo - i właściwie nie ma się czego uczyć...

Proponuję zacząć od cokolwiek filozoficznej koncepcji, że sinus jest czymś mniejszym/młodszym/słabszym od swojego starszego brata cosinusa. Przyjęcie takiej konwencji ułatwi zapamiętywanie wielu pożytecznych prawd. To, że sinus jest młodszy wynika z wielu przyczyn:
1) przy obliczaniu sinusa w liczniku jest brany dalszy bok (przeciwprostokątna naprzeciw a nie przylegająca do konta,
2) sin(0)=0; sinus wymaga aż 90° ($\frac{2}{}$) żeby jako wynik wyszedł 1, cosinusowi wystarcza zero (nic),
3) sinus następnego po 0 znaczącego kąta (30°) wynosi $\frac{2}{}$, mniej niż cosinus ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ ),
4) sin(-α)=-sin(α) a cos(-α)=cos(α) - cosinus opiera się przed zmianą znaku pod wpływem zmiany znaku argumentu (i ten trzeci dowód na słabość sinusa jest jednocześnie jedynym wzorem do zapamiętania).


Do całości będzie nam jeszcze potrzebny obrazek:

i już mamy wszystkie wzory z głowy, trzeba tylko paru przekształceń, pamiętając, że dla sin(α+x) albo cos(α+x) przesuwamy się od sin albo cos zgodnie z kierunkiem strzałek tyle razy, ile ($\frac{2}{}$) jest w iksie.

Przykład:

ctg(-α-$\frac{2}{}$ π)=ctg(-α+$\frac{2}{}$ π)=;
cos(-α+$\frac{2}{}$π)=sin(-α)=-sin(α) ∧ sin(-α+$\frac{2}{}$π)=-cos(-α)=-cos(α) ⇒ =$\frac{\mathrm{-cos\alpha }}{}$=tgα

Nie wykorzystałem niczego innego niż obrazek (linijka druga, krok pierwszy) i p. 4) (linijka druga, krok drugi) – analogicznie można dojść do pozostałych 23 wzorów i nie trzeba niczego zapamiętywać.