O wyciąganiu pierwiastków

W tym odcinku o szybkim przybliżonym obliczaniu pierwiastków dla liczb niebędących kwadratami liczb naturalnych.

<Wyjaśnienie, jak to działa, jak kto chce tylko używać sposobu w praktyce, to nie jest to koniecznie potrzebne>

Wiadomo, że pochodna danej funkcji f(x) ma wzór:

f'(x)=lim $\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">f(x+\Delta x)-f(x)</span>}}{}$

           x→0

Usuwając ograniczenie x→0 uzyskuje się w przybliżeniu:


f'(x)=$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">f(x+\Delta x)-f(x)</span>}}{}$, czyli:

f(x+Δx)=f(x)+f'(x)Δx,

co daje tym lepsze przybliżenie, im mniejsze jest Δx w stosunku do x.

Dla funkcji $\sqrt{x}$ można zapisać:

$\sqrt{x+\Delta x}$ ≈ $\sqrt{x}$ + Δx $\frac{1}{$ \sqrt{x}$}$

<Koniec wyjaśnienia>


Gdy obliczamy pierwiastek liczby niebędącej kwadratem liczby naturalnych, wyszukujemy najbliższy jej kwadrat liczby naturalnej i podstawiamy do równania:

$\sqrt{x+\Delta x}$ ≈ $\sqrt{x}$ +  $\frac{1}{$ \sqrt{x}$}$


 Przykładowo mamy więc:

1°
 $\sqrt{5}$ = $\sqrt{4+1}$ ≈ $\sqrt{4}$ + 1 $\frac{1}{$ \sqrt{4}$}$=2+$\frac{1}{}$ = $\frac{9}{}$,
($\frac{9}{}$)²= $\frac{81}{}$ =5+ $\frac{1}{}$, czyli błąd względny wynosi $\frac{1}{}$:5=1,25%,

2°
  $\sqrt{10}$ = $\sqrt{9+1}$ ≈ $\sqrt{9}$ + 1 $\frac{1}{$ \sqrt{9}$}$=3+$\frac{1}{}$ = $\frac{19}{}$,
($\frac{\mathrm{<b>1</b>9}}{}$)²= $\frac{361}{}$ =10+ $\frac{1}{}$, czyli błąd względny wynosi $\frac{1}{}$:10=0,28%,

3°
  $\sqrt{3}$ = $\sqrt{4+(-1)}$ ≈ $\sqrt{4}$ +(- 1) $\frac{1}{$ \sqrt{4}$}$=2-$\frac{1}{}$ = $\frac{7}{}$,
($\frac{\mathrm{<b>7</b>}}{}$)²= $\frac{49}{}$ =3+ $\frac{1}{}$, czyli błąd względny wynosi $\frac{1}{}$:3=2,08%.


Na przykładzie 3° zauważmy jak można w prosty sposób zwiększać dokładność przybliżenia, podstawiając do wzoru za  x nie najbliższy kwadrat liczby naturalnej, ale liczbę obliczoną w poprzednim kroku i tak ad infinitum (choć w pewnym momencie trzeba mieć kartkę i długopis, żeby to zrobić):

$\sqrt{3}$ = $\sqrt{$ \frac{49}{}$–$ \frac{1}{}$}$ ≈$\frac{7}{}$ - $\frac{1}{}$ $\frac{1}{$ \frac{7}{}$}$= $\frac{97}{}$,

($\frac{\mathrm{<b>97</b>}}{}$)²= $\frac{9409}{}$ =3+ $\frac{1}{}$, czyli błąd względny wynosi $\frac{1}{}$:3=0,01%.

Temat można jeszcze pogłębiać, ale chyba już starczy.

Na koniec mała uwaga – w przykładzie 3° od pierwszego przybliżenia $\frac{7}{}$ do drugiego $\frac{97}{}$ można dojść również i tak, że nowy mianownik jest iloczynem licznika i mianownika starego ułamka oraz liczby 2 a nowy licznik jest dwukrotnością kwadratu starego licznika pomniejszoną o 1:

56=7x4x2                   97=(7x7x2)-1

Na tej samej zasadzie można znaleźć kolejne przybliżenie $\sqrt{3}$:

10864=97x56x2         18817=(97x97x2)-1

($\frac{\mathrm{<b>18817</b>}}{}$)²=3+ $\frac{1}{}$

Proponuję posprawdzać dla innych liczb niż 3, także takich, gdy najbliższy kwadrat jest oddalony o więcej niż 1.