Wartości funkcji trygonometrycznych najpopularniejszych kątów

W poprzednim wpisie Wzory redukcyjne było o zapamiętywaniu popularnych wzorów redukcyjnych.

Teraz szybki sposób na zapamiętanie wartości funkcji trygonometrycznych najważniejszych kątów.

Wybrane kąty są z zakresu 0-90° i przykłady dotyczą tylko sinusa i cosinusa. Z definicji tangensa i cotangensa oraz ze wzorów redukcyjnych (vide poprzedni wpis) można oczywiście łatwo wywieść wartości wszystkich czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych dla podanych poniżej kątów oraz tychże kątów powiększonych o 90, 180, 270 stopni. Łącznie baza wiedzy obejmie więc wartości 4 funkcji dla 16 (0, 30, 45, 60 stopni i ich wielokrotności co 90 stopni) kątów. I znowu - prawie niczego nie trzeba zapamiętywać.

Potrzebny będzie prosty obrazek:

I już mamy:
1) [Rys. 1] sin(45°)=cos(45°)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
2) [Rys. 2] Na początek ustalamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach $\frac{2}{}$,h i a, że h=a$\frac{\sqrt{3}}{2}$ (nb: jak widać nie ma powodu zapamiętywania, jaka jest wysokość w trójkącie równobocznym). Następnie z definicji ("obrazkowej", ściśle poprawna definicja funkcji trygonometrycznych to już inna sprawa) mamy:
sin(60°)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
sin(30°)=$\frac{2}{}$;
cos(30°)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
cos(60°)=$\frac{2}{}$.
3) [Rys.3] Zaczynamy od trójkąta ABC i sinα.
1. Skracając kąt α poprzez rozpatrywanie kolejnych trójkątów ABC, ABC₁, ABC₂, ABC₃, uzyskujemy coraz niższe wartości sinα. Można zapisać:
α→0⇒(|BC|→0 ∧ |AC|→a)⇒$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$→$\frac{\mathrm{a}}{}$=0, czyli:
sin(α)_α→0=0, a zatem

sin(0)=0.
Analogicznie,
α→0⇒|AC|→a⇒$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$→$\frac{\mathrm{a}}{}$=1, czyli:
cos(0)=1_.

2. Powiększając kąt α poprzez rozpatrywanie kolejnych trójkątów ABC, ABC₄, ABC₅, ABC₆, uzyskujemy coraz wyższe wartości sinα. Można zapisać:
α→90°⇒|BC|→|AC|⇒$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$→$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$=1, czyli:
sin(α)_α→90°=1, a zatem

sin(90°)=1.
Analogicznie,
α→90°⇒|AC|→∞⇒$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$→$\frac{\mathrm{\infty }}{}$=0, czyli:
cos(90°)=0_.


Podsumowując:

sin(45°)=cos(45°)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
sin(60°)=cos(30°)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
sin(30°)=cos(60°)=$\frac{2}{}$; 
sin(0)=cos(90°)=0;

sin(90°)=cos(0)=1.

Ponieważ ze wszystkiego, co wiemy trzeba wyciągnąć najwięcej jak się da i powiązać z czym się da, to zauważmy jeszcze:

- potwierdza się założenie z pp. 2 i 3 poprzedniego wpisu , że sinus jest młodszy od cosinusa, gdyż dla dwóch pierwszych podstawowych kątów (0° i 30°) przyjmuje niższe od niego wartości,
- ze wzorów wyżej wynika, że gdy kąty będące argumentem sinusa i cosinusa sumują się do 90° to sinus jest równy cosinusowi. Oczywiście (vide Rys. 1 i 2) wiadomo, że jeśli w trójkącie kąt "na lewo" od kąta prostego wynosi α, to pozostały kąt musi być (90°-α), bo kąty w trójkącie sumują się do 180°. Z definicji "obrazkowej" sinusa i cosinusa już widać i nawet bez użycia technik zapamiętywania wzorów redukcyjnych może gdzieś zostać w głowie, że:
sin(90°-α)=cosα,
cos(90°-α)=sinα,
 - wiedza o tym, że sin(90°)=1 przyda się w następnym wpisie i vice versa, tenże następny wpis pomoże zapamiętać, że wartość sinusa kąta prostego to 1.