O zakazach

Ostatnio trwa nagonka na "piratów" drogowych. Sprzyjają temu takie medialne wydarzenia jak rajd Frogga po Warszawie, czy wjechanie przez pewną panią do przejścia podziemnego w centrum tegoż miasta. Nieco później słyszeliśmy o kierowcy, który urządził Carmageddon w Sopocie oraz znanym (oczywiście z osiągnięć artystycznych) artyście, który najwyraźniej pod wpływem substancji bardzo aktywnych zabił pieszą na al. KEN (znowu w Warszawie).

Oczywiście daleki jestem od tego, by podejrzewać, że wszystkie te i inne wydarzenia zostały wyreżyserowane, niemniej jednak zostały wykorzystane. Obserwujemy nagonkę na kierowców, która objawia się już to przez sugerowanie, że istnieje jakiś ogromny problem z kierowcami jadącymi za szybko i/lub pod wpływem alkoholu, narkotyków, już to przez przyspieszoną pracę urzędów skarbowych, które ostatnio całkiem szybko wystawiają tytuły egzekucyjne do mandatów.

Powiedzą niektórzy, że najprościej przestrzegać przepisów drogowych i to właśnie powinien robić porządny obywatel. Pozwolę sobie nie zgodzić się na to: 

Der freigewordene Mensch tritt mit Füssen auf die verächtliche Art von Wohlbefinden, von dem Krämer, Christen, Kühe, Weiber, Engländer und andere Demokraten träumen.

Choć akurat filozofia Nietzschego jako taka nie jest z mojej bajki, to uważam, że powyższy fragment jest całkiem akuratny. Nieszczęśliwie, zapewne większość społeczeństwa ową "nikczemną błogością" wcale nie gardzi i raczej podporządkuje się kolejnym mądrym przepisom, niż wyciągnie konsekwencje.

[Notabene, Nietzsche kojarzy się najczęściej z antysemityzmem, niemieckim nadczłowiekiem i "Dionizosem przeciw Ukrzyżowanemu", podczas gdy prawdą jest właściwie tylko jego niechęć do chrześcijaństwa i ogólnie religii a reszta to przyprawiona mu z sukcesem gęba. W istocie był on przede wszystkim przeciwnikiem państwa¹, Niemców² i nie lubił antysemitów (tak, tak!)]

Zgodnie z powyższym mottem, zamiast bezrefleksyjnie podporządkowywać się nakazom i zakazom, zastanówmy się, jakie okoliczności są istotne, by ocenić, czy wolny człowiek powinien się podporządkowywać zakazom.

Po pierwsze i najprostsze, nakładający zakaz musi mieć do tego formalne prawo i zakaz musi być formalnie poprawnie zakomunikowany, co rozumiem w ten sposób, że został odpowiednio wybrany i umocowany. Ten warunek traktowałbym jednak jako sine qua non, gdyby traktować go jako wystarczający, to, z zachowaniem proporcji, trzeba uznać, że rasistowskich ustaw norymberskich należało było przestrzegać, wszak Reichstag i rząd Rzeszy były legalne. W naszej polskiej rzeczywistości nierzadko spełnienie nawet tego wymogu przekracza możliwości zakazujących. Znaki umieszczane są za blisko siebie, wzajemnie się wykluczają, mają zły kolor, zawieszone są na niepoprawnej wysokości, oficjalnie nie istnieją, nie są widoczne (vide np. zakaz wjazdu samochodów wyposażonych w instalację gazową), umieszczane są przez osoby nieuprawnione...

Po drugie i najważniejsze ustanawiający zakaz musi mieć na uwadze osiągnięcie godnego celu. Z tym jest jeszcze gorzej. Często bywa jak tu:

Miś - przedszkole przyszłości lub w czasach bardziej aktualnych Kobylnica 17% budżetu ma z mandatów

Trudno, żeby było inaczej. Ustanowienie zakazu przekraczania prędkości przypisuje się często ministrowi SW III Rzeszy Heinrichowi Himmlerowi, który takowy zaordynował miejscowej ludności 7 maja 1939 roku (nb. tenże sam ustanowił 7 listopada 1939 roku obowiązkowe OC³) a jego egzekwowaniem zajmowali się uzbrojeni w stopery policjanci ustawieni w wyliczonej uprzednio od siebie odległości (ciekawe, jak wyglądała kwestia legalizacji i ewentualnych odwołań...). W swej biurokratycznej pedantyczności niemiecka machina urzędnicza nie zrobiła nawet wyjątku dla kata Johanna Reichharta (wykonał m. in. wyrok na Sophie Scholl), który prosił ministerstwo komunikacji o pozwolenie na nieprzestrzeganie zakazu z uwagi na konieczność częstego przemieszczania się w celu wykonywania swoich obowiązków. Warto tu dodać, że Himmler za najważniejsze problemy trapiące społeczeństwo uznał homoseksualizm, aborcje i wypadki drogowe. Jak to bywa u totalniackich natur, za rozwiązanie zidentyfikowanych przez siebie problemów zabrał się na swój sposób - metodami administracyjno-nakazowymi.

Po raz kolejny potwierdza się prawidłowość, że jak władza wpadnie na coś głupiego, to usilnie stara się, żeby to jeszcze bardziej wynaturzyć. Droga przebyta od policjantów ze stoperami do lotnych patroli samochodowych z kamerami i straży miejskich wystawiających blisko 100% mandatów kierowcom przekraczającym prędkość (Pelplin, Kobylnica⁴) zdaje się sugerować, że chodzi o tresurę, której finalnym produktem ma być kierowca stosujący się zawsze i bezwzględnie do wszelkich zakazów, choćby i wiedział, że nie mają one sensu. Kierowca taki, jeśli już pojedzie o 1km/h za szybko (jak to słychać ostatnimi czasy, nie będzie już 10-kilometrowej tolerancji - a gdzie błąd pomiaru?) ma z poczuciem winy płacić mandat a jeśli nieszczęśliwie straci prawo jazdy w wyniku popełnienia takich wykroczeń, to powinien posłusznie zapisać się na kurs, zdać za n-tym razem egzamin przed profesjonalnym egzaminatorem państwowym (mającym do wyrobienia odpowiedni plan zdawalności, bo zdającego należy oblewaniem zachęcić do kolejnego skorzystania z usługi zdawania egzaminu) a gdyby próbował w międzyczasie uzyskać zagraniczne prawo jazdy i legalizować je w Polsce, to już niezawisły sąd stanie na straży prawa i czujnie powstrzyma oszusta. Oczywiście, skrupulatne egzekwowanie kar okraszone będzie (raczej: okraszone jest a będzie naszpikowane) stawianiem ograniczeń do 70 km/h poza terenem zabudowanym na, do wyboru do koloru, przelotowej drodze krajowej, trzypasmowym niekolizyjnym odgrodzonym ekranami fragmencie drogi nieszczęśliwie położonej w granicach administracyjnych miasta, łuku drogi 5°, drodze ekspresowej (!).

Wypada też zastanowić się, czemu z himmlerowskiej triady wybrano akurat walkę z wypadkami. Prowadzenie walki z homoseksualizmem przy użyciu metod stosowanych do dyscyplinowania kierowców mogłoby być równie udane a na pewno śmieszniejsze. Nie skończyłoby się na oskarżeniu pana Biedronia o próbę wyrwania policjantowi pałki (policyjnej).

Co jednak jest tym godnym celem stojącym za ustanawianiem ograniczeń prędkości? Oczywiście bezpieczeństwo uczestników ruchu drogowego a pieniądze z mandatów wydatkowane są wyłącznie na inwestycje polepszające to bezpieczeństwo (vide: Stara Kiszewa, Kobylnica, Tarczyn)⁴

Czy deklarowany publicznie cel jest prawdziwy, czy może chodzi o sięgnięcie do pieniędzy kierowców? Spójrzmy na wyjątki z raportu NIK o kontroli bezpieczeństwa ruchu drogowego⁵, który za jedną z podstawowych przyczyn wypadków uznaje zły stan dróg: nierówna nawierzchnia dróg na 11,2% dróg, pęknięcia nawierzchni na 13,3% dróg, złe właściwości przeciwpoślizgowe na 21,9% dróg, koleiny na 23,7% dróg, co czwarty most w złym stanie technicznym. Warto zwrócić też uwagę na inne raporty - choćby o funkcjonowaniu ratownictwa i ochrony przeciwpożarowej na kolei (8 marca 2013) oraz o organizacji ruchu na drogach gminnych, powiatowych i wojewódzkich (20 sierpnia 2014). Popatrzmy też na przyłapywanych na przekroczeniu prędkości oficjeli (znalezione w ciągu kilku minut w internecie):

prezydent Komorowski, marszałek sejmu Kopacz, główny inspektor transportu drogowego Połeć, wicepremier Pawlak, minister sportu Mucha, pełnomocnik premiera ds. walki z korupcją Pitera, marszałek województwa mazowieckiego Struzik; europosłowie Kurski, Ziobro, liczni posłowie, w tym prezes PiS Kaczyński.⁶

Pytanie powyżej jest oczywiście retoryczne (na pytania retoryczne się nie odpowiada, bo odpowiedź na nie jest ogólnie znana a poza tym nie pisze się o pytaniach retorycznych, że są retoryczne jak wszyscy widzą, że są retoryczne).

Cóż zatem począć z zakazami? Czy rządzący mają moralne prawo domagać się przestrzegania zakazów? Chyba najprościej kierować się zdrowym rozsądkiem: większości zakazów przestrzegać, głupie ignorować (biorąc niestety na siebie ryzyko bycia ukaranym) a najlepiej pokazać czerwoną kartkę je ustanawiającym. To ostatnie mogłoby oznaczać, że prawie nie ma na kogo zagłosować, ale szukajcie a znajdziecie.


¹"Państwem zwie się najzimniejszy ze wszystkich zimnych potworów. Z zimną krwią też kłamie; a kłamstwo wypełza z jego ust takie: 'Ja, państwo, jestem ludem.' (...) Ale państwo kłamie we wszystkich językach dobra i zła, i cokolwiek mówi, kłamie;cokolwiek posiada, ukradło" - Nietzsche F.: To rzekł Zaratustra. Warszawa: Państwowy Instytut Wydawniczy 1999, s.62
²"Jestem polskim szlachcicem pur sang, bez domieszki choćby kropli kiepskiej krwi - niemieckiej w żadnym razie" - Nietzsche F.: Ecce homo. Kraków: Wydawnictwo Baran i Suszczyński 1995, s.23
³http://www.dhm.de/lemo/html/1939/index.html [Dostęp: 24.08.2014]
⁴Informacja o wynikach kontroli działalności jednostek samorządu terytorialnego w zakresie przeprowadzania kontroli prędkości pojazdów uczestniczących w ruchu drogowym, Najwyższa Izba Kontroli [NIK], Warszawa, październik 2011, s. 26
⁵Informacja o wynikach kontroli bezpieczeństwa ruchu drogowego w Polsce, NIK, Warszawa, marzec 2011, s. 26
⁶http://www.fakt.pl/Bronislaw-Komorowski-jedzie-na-majowke,artykuly,156172,1.html; http://www.fakt.pl/Ewa-Kopacz-szaleje-na-drodze-tak-Ewa-Kopacz-mknie-do-pracy-szofer-Kopacz-lamie-przepisy,artykuly,148787,1.html; http://www.pomorska.pl/apps/pbcs.dll/article?AID=/20130313/REGION/130319747; http://www.fakt.pl/Pawlak-pedzi-na-czerwonym-a-Kaczynski-140-km-h-FOTY,artykuly,113288,1.html; http://www.fakt.pl/Minister-Mucha-pedzi-samochodem-przez-miasto,artykuly,173653,1.html; http://www.fakt.pl/Pitera-gna-140km-h-po-miescie-FOTO,artykuly,58082,1.html; http://www.fakt.pl/Marszalek-kpi-z-prawa,artykuly,58635,1.html; http://info.elblag.pl/40,15983,Kurski-znow-zatrzymany-za-przekroczenie-predkosci-.html; http://www.fakt.pl/Ziobro-zatrzymany-przez-niemiecka-policje-Jechal-na-,artykuly,110616,1.html; http://www.fakt.pl/Fotoradar-zlapal-poslow-Ktorzy-poslowie-zlamali-przepisy-drogowe-,artykuly,207551,1.html [Dostęp: 27.08.2014]

O wyciąganiu pierwiastków

W tym odcinku o szybkim przybliżonym obliczaniu pierwiastków dla liczb niebędących kwadratami liczb naturalnych.

<Wyjaśnienie, jak to działa, jak kto chce tylko używać sposobu w praktyce, to nie jest to koniecznie potrzebne>

Wiadomo, że pochodna danej funkcji f(x) ma wzór:

f'(x)=lim $\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">f(x+\Delta x)-f(x)</span>}}{}$

           x→0

Usuwając ograniczenie x→0 uzyskuje się w przybliżeniu:


f'(x)=$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; small;">f(x+\Delta x)-f(x)</span>}}{}$, czyli:

f(x+Δx)=f(x)+f'(x)Δx,

co daje tym lepsze przybliżenie, im mniejsze jest Δx w stosunku do x.

Dla funkcji $\sqrt{x}$ można zapisać:

$\sqrt{x+\Delta x}$ ≈ $\sqrt{x}$ + Δx $\frac{1}{$ \sqrt{x}$}$

<Koniec wyjaśnienia>


Gdy obliczamy pierwiastek liczby niebędącej kwadratem liczby naturalnych, wyszukujemy najbliższy jej kwadrat liczby naturalnej i podstawiamy do równania:

$\sqrt{x+\Delta x}$ ≈ $\sqrt{x}$ +  $\frac{1}{$ \sqrt{x}$}$


 Przykładowo mamy więc:

1°
 $\sqrt{5}$ = $\sqrt{4+1}$ ≈ $\sqrt{4}$ + 1 $\frac{1}{$ \sqrt{4}$}$=2+$\frac{1}{}$ = $\frac{9}{}$,
($\frac{9}{}$)²= $\frac{81}{}$ =5+ $\frac{1}{}$, czyli błąd względny wynosi $\frac{1}{}$:5=1,25%,

2°
  $\sqrt{10}$ = $\sqrt{9+1}$ ≈ $\sqrt{9}$ + 1 $\frac{1}{$ \sqrt{9}$}$=3+$\frac{1}{}$ = $\frac{19}{}$,
($\frac{\mathrm{<b>1</b>9}}{}$)²= $\frac{361}{}$ =10+ $\frac{1}{}$, czyli błąd względny wynosi $\frac{1}{}$:10=0,28%,

3°
  $\sqrt{3}$ = $\sqrt{4+(-1)}$ ≈ $\sqrt{4}$ +(- 1) $\frac{1}{$ \sqrt{4}$}$=2-$\frac{1}{}$ = $\frac{7}{}$,
($\frac{\mathrm{<b>7</b>}}{}$)²= $\frac{49}{}$ =3+ $\frac{1}{}$, czyli błąd względny wynosi $\frac{1}{}$:3=2,08%.


Na przykładzie 3° zauważmy jak można w prosty sposób zwiększać dokładność przybliżenia, podstawiając do wzoru za  x nie najbliższy kwadrat liczby naturalnej, ale liczbę obliczoną w poprzednim kroku i tak ad infinitum (choć w pewnym momencie trzeba mieć kartkę i długopis, żeby to zrobić):

$\sqrt{3}$ = $\sqrt{$ \frac{49}{}$–$ \frac{1}{}$}$ ≈$\frac{7}{}$ - $\frac{1}{}$ $\frac{1}{$ \frac{7}{}$}$= $\frac{97}{}$,

($\frac{\mathrm{<b>97</b>}}{}$)²= $\frac{9409}{}$ =3+ $\frac{1}{}$, czyli błąd względny wynosi $\frac{1}{}$:3=0,01%.

Temat można jeszcze pogłębiać, ale chyba już starczy.

Na koniec mała uwaga – w przykładzie 3° od pierwszego przybliżenia $\frac{7}{}$ do drugiego $\frac{97}{}$ można dojść również i tak, że nowy mianownik jest iloczynem licznika i mianownika starego ułamka oraz liczby 2 a nowy licznik jest dwukrotnością kwadratu starego licznika pomniejszoną o 1:

56=7x4x2                   97=(7x7x2)-1

Na tej samej zasadzie można znaleźć kolejne przybliżenie $\sqrt{3}$:

10864=97x56x2         18817=(97x97x2)-1

($\frac{\mathrm{<b>18817</b>}}{}$)²=3+ $\frac{1}{}$

Proponuję posprawdzać dla innych liczb niż 3, także takich, gdy najbliższy kwadrat jest oddalony o więcej niż 1.

O podnoszeniu do kwadratu

Kiedyś w podstawówce odkryłem, że sumując kolejne liczby nieparzyste dostaje się kolejne kwadraty liczb naturalnych:

1+3=4, 4+5=9, 9+7=16...

Niestety okazało się, że pierwsi odkryli to już pitagorejczycy skromne kilkadziesiąt setek lat wcześniej. Choć żal tak o włos stracić palmę pierwszeństwa, to sam fakt może być wciąż pożyteczny w życiu.

Powiedzmy, że pamiętamy, iż 15x15=225 i 16x16=256, ale z dalszymi kwadratami już gorzej. Mnożenie liczb dwucyfrowych w pamięci nie jest jeszcze najgorsze, ale istnieje szybszy sposób na wyznaczanie kwadratów kolejnych liczb - i dodatkowo szansa pomyłki jest mniejsza. Wystarczy zauważyć, że 256-225=31 a zatem kwadrat liczby 17 musi być oddalony od 256 o 33, dalej kwadrat 18 o kolejne 35, itd.

Szybko ustalamy, że:

17x17=256+33=289,

18x18=289+35=324,

19x19=324+37=361,

20x20=361+39=400,

21x21=400+41=441,

22x22=441+43=484.

Mamy więc prosty sposób na szybkie ustalanie kwadratów kolejnych liczb.
Może to być szczególnie przydatne, dla kwadratów liczb składających się z większej liczby cyfr.

Samą prawidłowość łatwo wykazać, rozpatrując różnicę pomiędzy kwadratami dwóch kolejnych liczb naturalnych:

(a+1)²-a²=2a+1

Z powyższego wynika, że różnica pomiędzy kolejnymi kwadratami to dwukrotność podstawy kwadratu mniejszej liczby, czyli 1² od 2² dzieli 2x1+1=3, 2² od 3² dzieli 2x2+1=5 i dalej każdy następny kwadrat będzie oddalony od poprzedniego o liczbę o 2 większą niż poprzednia odległość.

O przeliczaniu jednostek

Ile metrów na sekundę przebywa samochód jadący 80 km/h?

80 x 3600 : 1000, czy 80 x 1000 : 3600... jak to szło? OK, druga wersja, czyli 80000 : 3600 = 800:36 = 200:9, w pamięci liczę 22,(2). Jeszcze nie tak źle było obliczyć.

A co jeśli chcę szybko obliczyć ze znośną dokładnością liczbę, która mniej ładnie się dzieli?

Mnożenie/dzielenie (szczególnie w pamięci) jest trudniejsze niż dodawanie. Proponuję zapamiętać, że 10 m/s to 36 km/h i dodawać wielokrotności tej proporcji, nic nie mnożyć i nic nie dzielić (no dobrze, trzeba pomnożyć czasem 4 x 36, ale mnożenie liczby jedno- i dwucyfrowej skomplikowane nie jest a poza tym z czasem się zapamiętuje i nawet nie trzeba liczyć).

Spróbujmy:

- 80 km/h to 2 x 36 km/h, zostaje jeszcze 8 km/h, to trzeba dodać jeszcze 2 razy 1/10 z 36 km/h i razem mamy 72+7,2=79,2 km/h, co jest równe 2 x 10 m/s + 2 x 1 m/s = 22 m/s.

- 58 km/h to (36+18+4) km/h, czyli około (36+18+3,6) km/h, co daje (10+5+1)=16 m/s. Chyba nikt nie powie, że szybciej policzy w pamięci 580 /36.

- 113 km/h to (3 x 36+5) km/h, czyli około (3 x 36+3,6) km/h, co daje (3 x 10+1)=31 m/s.

- 340,3 m/s (prędkość dźwięku) to około 10 x 34 m/s = 10 x (3 x 10+4 x 1) m/s = 10 x (3 x 36 + 4 x 3,6) km/h = 10 x (108+14,4) km/h = 1224 km/h. Można jeszcze na końcu dodać 3 x 0,36 km/h i wyjdzie 1225,08 km/h - To było już trochę skomplikowane, ale da się to rozumowanie przeprowadzić w pamięci a niech ktoś w pamięci bezbłędnie policzy 340,3 / 1000 x 3600

Większa dokładność? Bez problemu:

- 58 km/h to (36+18+4) km/h, czyli około (36+18+3,6+0,36) km/h, co daje (10+5+1+0,1)=16,1 m/s.

- 113 km/h to (3 x 36+5) km/h, czyli około (3 x 36+3,6+4 x 0,36) km/h, co daje (3 x 10+1+4 x 0,1)=31,4  m/s.

Jak widać, przelicznik 10:36 przydaje się do szybkich przybliżonych obliczeń. Co ciekawe, połowa tego stosunku, 10:18, może być użyta do przeliczeń stopni Celsjusza na Fahrenheita a także kilometrów na mile morskie (tu mniej dokładnie, gdyż mila morska to 1851,85 m).

Właśnie, jaki był wzór na przeliczanie temperatur? Wzór jako taki nie jest łatwy do zapamiętania i ja go często zapominam. Najlepiej zapamiętać, że dwóm charakterystycznym temperaturom - 0 i 100 st. Celsjusza - odpowiada 32 i 212 st. Fahrenheita a przeliczenie jest funkcją liniową. 2 punkty na wykresie pozwalają na ustalenie wzoru, ale nie namawiam na rozwiązywanie układu równań... Jeśli wzór ma postać y=ax+b, to szczęśliwie nasz pierwszy iks wynosi 0 a skoro y ma wyjść 32, to b musi być 32. Dla naszego drugiego punktu wiemy więc, że 100 trzeba pomnożyć przez 1,8, żeby dostać (212-32)=180. Cały wzór to:
st. C x $\frac{10}{}$+32=st. F, albo
(st. F-32) x $\frac{18}{}$=st. C.

Wartości funkcji trygonometrycznych najpopularniejszych kątów

W poprzednim wpisie Wzory redukcyjne było o zapamiętywaniu popularnych wzorów redukcyjnych.

Teraz szybki sposób na zapamiętanie wartości funkcji trygonometrycznych najważniejszych kątów.

Wybrane kąty są z zakresu 0-90° i przykłady dotyczą tylko sinusa i cosinusa. Z definicji tangensa i cotangensa oraz ze wzorów redukcyjnych (vide poprzedni wpis) można oczywiście łatwo wywieść wartości wszystkich czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych dla podanych poniżej kątów oraz tychże kątów powiększonych o 90, 180, 270 stopni. Łącznie baza wiedzy obejmie więc wartości 4 funkcji dla 16 (0, 30, 45, 60 stopni i ich wielokrotności co 90 stopni) kątów. I znowu - prawie niczego nie trzeba zapamiętywać.

Potrzebny będzie prosty obrazek:

I już mamy:
1) [Rys. 1] sin(45°)=cos(45°)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
2) [Rys. 2] Na początek ustalamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach $\frac{2}{}$,h i a, że h=a$\frac{\sqrt{3}}{2}$ (nb: jak widać nie ma powodu zapamiętywania, jaka jest wysokość w trójkącie równobocznym). Następnie z definicji ("obrazkowej", ściśle poprawna definicja funkcji trygonometrycznych to już inna sprawa) mamy:
sin(60°)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
sin(30°)=$\frac{2}{}$;
cos(30°)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
cos(60°)=$\frac{2}{}$.
3) [Rys.3] Zaczynamy od trójkąta ABC i sinα.
1. Skracając kąt α poprzez rozpatrywanie kolejnych trójkątów ABC, ABC₁, ABC₂, ABC₃, uzyskujemy coraz niższe wartości sinα. Można zapisać:
α→0⇒(|BC|→0 ∧ |AC|→a)⇒$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$→$\frac{\mathrm{a}}{}$=0, czyli:
sin(α)_α→0=0, a zatem

sin(0)=0.
Analogicznie,
α→0⇒|AC|→a⇒$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$→$\frac{\mathrm{a}}{}$=1, czyli:
cos(0)=1_.

2. Powiększając kąt α poprzez rozpatrywanie kolejnych trójkątów ABC, ABC₄, ABC₅, ABC₆, uzyskujemy coraz wyższe wartości sinα. Można zapisać:
α→90°⇒|BC|→|AC|⇒$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$→$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$=1, czyli:
sin(α)_α→90°=1, a zatem

sin(90°)=1.
Analogicznie,
α→90°⇒|AC|→∞⇒$\frac{\mathrm{|AC|}}{}$→$\frac{\mathrm{\infty }}{}$=0, czyli:
cos(90°)=0_.


Podsumowując:

sin(45°)=cos(45°)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
sin(60°)=cos(30°)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
sin(30°)=cos(60°)=$\frac{2}{}$; 
sin(0)=cos(90°)=0;

sin(90°)=cos(0)=1.

Ponieważ ze wszystkiego, co wiemy trzeba wyciągnąć najwięcej jak się da i powiązać z czym się da, to zauważmy jeszcze:

- potwierdza się założenie z pp. 2 i 3 poprzedniego wpisu , że sinus jest młodszy od cosinusa, gdyż dla dwóch pierwszych podstawowych kątów (0° i 30°) przyjmuje niższe od niego wartości,
- ze wzorów wyżej wynika, że gdy kąty będące argumentem sinusa i cosinusa sumują się do 90° to sinus jest równy cosinusowi. Oczywiście (vide Rys. 1 i 2) wiadomo, że jeśli w trójkącie kąt "na lewo" od kąta prostego wynosi α, to pozostały kąt musi być (90°-α), bo kąty w trójkącie sumują się do 180°. Z definicji "obrazkowej" sinusa i cosinusa już widać i nawet bez użycia technik zapamiętywania wzorów redukcyjnych może gdzieś zostać w głowie, że:
sin(90°-α)=cosα,
cos(90°-α)=sinα,
 - wiedza o tym, że sin(90°)=1 przyda się w następnym wpisie i vice versa, tenże następny wpis pomoże zapamiętać, że wartość sinusa kąta prostego to 1.

Wzory redukcyjne w trygonometrii

Na sprawdzianie (a dla niektórych nie tylko) przydaje się znajomość "paru" wzorów redukcyjnych.
Jest tego trochę:

sin(α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
cos(α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
tg(α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
ctg(α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
sin(-α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
cos(-α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
tg(-α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)
ctg(-α+x), x∈( $\frac{2}{}$ ; π; $\frac{2}{}$ π)

W najbardziej podstawowej wersji mamy 8x3=24 wzory. Czy można się tego łatwo nauczyć?
Łatwo - i właściwie nie ma się czego uczyć...

Proponuję zacząć od cokolwiek filozoficznej koncepcji, że sinus jest czymś mniejszym/młodszym/słabszym od swojego starszego brata cosinusa. Przyjęcie takiej konwencji ułatwi zapamiętywanie wielu pożytecznych prawd. To, że sinus jest młodszy wynika z wielu przyczyn:
1) przy obliczaniu sinusa w liczniku jest brany dalszy bok (przeciwprostokątna naprzeciw a nie przylegająca do konta,
2) sin(0)=0; sinus wymaga aż 90° ($\frac{2}{}$) żeby jako wynik wyszedł 1, cosinusowi wystarcza zero (nic),
3) sinus następnego po 0 znaczącego kąta (30°) wynosi $\frac{2}{}$, mniej niż cosinus ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ ),
4) sin(-α)=-sin(α) a cos(-α)=cos(α) - cosinus opiera się przed zmianą znaku pod wpływem zmiany znaku argumentu (i ten trzeci dowód na słabość sinusa jest jednocześnie jedynym wzorem do zapamiętania).


Do całości będzie nam jeszcze potrzebny obrazek:

i już mamy wszystkie wzory z głowy, trzeba tylko paru przekształceń, pamiętając, że dla sin(α+x) albo cos(α+x) przesuwamy się od sin albo cos zgodnie z kierunkiem strzałek tyle razy, ile ($\frac{2}{}$) jest w iksie.

Przykład:

ctg(-α-$\frac{2}{}$ π)=ctg(-α+$\frac{2}{}$ π)=;
cos(-α+$\frac{2}{}$π)=sin(-α)=-sin(α) ∧ sin(-α+$\frac{2}{}$π)=-cos(-α)=-cos(α) ⇒ =$\frac{\mathrm{-cos\alpha }}{}$=tgα

Nie wykorzystałem niczego innego niż obrazek (linijka druga, krok pierwszy) i p. 4) (linijka druga, krok drugi) – analogicznie można dojść do pozostałych 23 wzorów i nie trzeba niczego zapamiętywać.